Question

已知雙曲線的左右焦點分別為F₁，F₂，左準線為l，能否在雙曲線的左支上求一點P，使|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項？若能，求出P的坐標，若不能，說明理由．

Answer 1

解：由題意得：a=5，b=12，c=13，F₁（-13，0），F₂（13，0），左準線為l：x=-，
設點P（x，y），|PF₁|²=d•|PF₂|，又=e==，∴|PF₁|=•|PF₂|，
又|PF₂|-|PF₁|=10，∴|PF₁|=，|PF₂|=，
∵雙曲線左支上任意一點到F₁（-13，0）的距離最小為-5-（-13）=8＞，
故雙曲線左支上不存在點P，使|PF₁|是P到l的距離d與|PF₂|的等比中項．
分析：先求出焦點的坐標，利用題中條件、雙曲線的第一定義、第二定義，求出|PF₁|=，進而分析出雙曲線左支上任意一點到F₁的距離最小為-5-（-13）=8＞，故點P不存在．
點評：本題是個開放型的題目，考查雙曲線的第一、第二定義，及雙曲線的性質．