Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點．
（1）證明：面PAC⊥面PBC；
（2）若PA=AB=2，則當直線PC與平面ABC所成角正切值為

2

時，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證明平面PAC垂直于平面PBC，直線證明平面PBC內的直線BC，垂直平面PAC內的兩條相交直線PA、AC即可；
（2）利用直線PC與平面ABC所成角正切值為

2

，求出AC，在直角△PAC中，求出AH，在直角△ABH中，可求AC與平面PBC所成角正弦值．

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵∠ACB是直徑AB所對的圓周角，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）解：如圖，過A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
∵PC∩BC=C，
∴AH⊥平面PBC，則∠ABH即是要求的角．
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC與平面ABC所成角，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

2

，
又PC=2，∴AC=

2

，
∴在直角△PAC中，AH=

PA•AC

PA2+AC2

=

2 3

3

在直角△ABH中，sin∠ABH=

2 3 3

2

=

3

3

，即AC與平面PBC所成角正弦值為

3

3

．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查線面角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于中檔題．