Question

已知θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=-

1

3

，則cos2θ的值為（　　）

• A．-

  17

  9

• B．±

  17

  9

• C．

  17

  9

• D．-

  8

  9

Answer 1

分析：把已知的等式左右兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數間的平方關系sin²θ+cos²θ=1化簡，求出2sinθcosθ的值，再利用完全平方公式及同角三角函數間的平方關系sin²θ+cos²θ=1化簡（sinθ-cosθ）²，把2sinθcosθ的值代入求出（sinθ-cosθ）²的值，由α的范圍判斷出sinθ和cosθ的正負，進而得到sinθ-cosθ為正，開方可得sinθ-cosθ的值，與已知的等式聯立求出sinθ和cosθ的值，最后利用二倍角的余弦函數公式化簡所求的式子，將求出sinθ和cosθ的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：把sinθ+cosθ=-

1

3

①兩邊平方得：
（sinθ+cosθ）²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=

1

9

，
∴2sinθcosθ=-

8

9

則（sinθ-cosθ）²=sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=1-2sinθcosθ=

17

9

∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0∴sinθ-cosθ＞0，
∴sinθ-cosθ=

17

3

②，
聯立①②解得：sinθ=

17 -1

6

，cosθ=-

17 +1

6

，
則cos2θ=cos²θ-sin²θ=

17

9

．
故選C

點評：本題考查同角三角函數的基本關系式，二倍角公式的應用，考查計算能力．