Question

已知函數f（x）=x³+ax²+ax+b的圖象過點P（0，2），且在x=-1處的切線斜率為6．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數y=f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數過P點，把P坐標代入到f（x）中得到b的值，又因為函數在x=-1處的切線斜率為6得到（-1，6）在導函數上，求出導函數代入求出a即可；
（Ⅱ）要求函數的單調區間令導函數等于0求出駐點討論導函數的正負判斷函數的單調區間即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax+a．
由題意知

f(0)=b=2 f′(-1)=3-2a+a=6

，解得

a=-3 b=2

．
∴f（x）=x³-3x²-3x+2．
（Ⅱ）f'（x）=3x²-6x-3．
令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0．
解得x1=1-

2

，x2=1+

2

．
當x＜1-

2

，或x＞1+

2

時，f′(x)＞0；
當1-

2

＜x＜1+

2

時，f′(x)＜0．
∴f（x）的單調遞增區間為：(-∞，1-

2

)和(1+

2

，+∞)，
f（x）的單調遞減區間為：(1-

2

 ，1+

2

)．

點評：此題考查學生利用待定系數的方法求函數解析式的運用能力，利用導數研究函數的單調性的能力，以及理解直線斜率的意義．