Question

【題目】對(duì)于無窮數(shù)列和函數(shù)，若，則稱是數(shù)列的母函數(shù).

（Ⅰ）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，且；又?jǐn)?shù)列滿足.

（1）求證： 是數(shù)列的母函數(shù)；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

（Ⅱ）已知是數(shù)列的母函數(shù)，且.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)(1)證明見解析；(2) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)(1)由題意結(jié)合母函數(shù)的定義即可證得結(jié)論；

(2)由題意錯(cuò)位相減可得；

(Ⅱ)由題意結(jié)合不等式的特點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）(1)由題知，且

.

是數(shù)列的母函數(shù)；

(2) 由(1) 知： 是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，故.

①

②

兩式相減得： .

.

（Ⅱ）由題知： ， .

.

從而是以為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列

又

故當(dāng)時(shí)

.