Question

如圖在直三棱柱中,.
(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求二面角的余弦值大小;
(Ⅲ)在上是否存在點(diǎn),使得∥平面, 若存在,試給出證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解法一（Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影為.
由可得.
所以.    (Ⅱ)過(guò)作于,連結(jié).
由底面可得.故為二面角的平面角.
在中,,
在Rt中,,
故所求二面角的余弦值大小為. 

(Ⅲ)存在點(diǎn)使∥平面,且為中點(diǎn),下面給出證明.設(shè)與交于點(diǎn)則為中點(diǎn).
在中, 連結(jié),分別為的中點(diǎn),故為的中位線,
∥,又平面,平面,   ∥平面.
故存在點(diǎn)為中點(diǎn),使∥平面.      
解法二 直三棱柱,底面三邊長(zhǎng),
兩兩垂直.
如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則

.
(Ⅰ),
,故.             
(Ⅱ)平面的一個(gè)法向量為,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,,
由得
令,則.則.故＜＞=.
所求二面角的余弦值大小為.
（3）同上

略