Question

用數學歸納法證明：

（1）7²ⁿ-4²ⁿ-297能被264整除；

（2）aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a+1整除（其中n，a為正整數）

Answer 1

思路分析：（1）當n=k+1時，左邊應該想辦法分別提取公因數49和264.

（2）n=k+1時，要通過湊項配形的方法來達到提取公因式的目的.

證明：(1)當n=k+1時，

7^2(k+1)-4^2(k+1)-297=49×(7^2k-4^2k-297)+33×4^2k+48×297

=49×(7^2k-4^2k-297)+33×8×(2^4k-3+48×9)=49×(7^2k-4^2k-297)+264×(2^4k-3+48×9).

能被264整除，命題正確.

(2)n=k+1時，

a^k+2+(a+1)^2k+1=(a+1)²［a^k+1+(a+1)^2k-1］+a^k+2-a^k+1(a+1)²

=(a+1²)［a^k+1+(a+1)^2k-1］-a^k+1(a²+a+1).

能被a²+a+1整除.