Question

(13分)（理科）已知雙曲線與橢圓有公共焦點，且以拋物線的準線為雙曲線的一條準線．動直線過雙曲線的右焦點且與雙曲線的右支交于兩點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）無論直線繞點怎樣轉動，在雙曲線上是否總存在定點，使恒成立？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）雙曲線上存在定點，使恒成立

（理科）解：（1）設，則由題意有：
  ∴，，
故雙曲線的方程為，                        ……………4分
（2）解法一：由（1）得點為
當直線l的斜率存在時，設直線方程，，
將方程與雙曲線方程聯立消去得：，
∴   解得                  ……………6分
假設雙曲線上存在定點，使恒成立，設為
則：




∵，∴，
故得：對任意的恒成立，
∴，解得
∴當點為時，恒成立；               ……………10分
當直線l的斜率不存在時，由，知點使得也成立．
又因為點是雙曲線的左頂點，                    ……………12分
所以雙曲線上存在定點，使恒成立． ……………13分
解法二（略解）：當直線l的斜率不存在時，由，，，且點在雙曲線上可求得，
當直線l的斜率存在時，將，，代入，經計算發現對任意的恒成立，從而恒有成立．
因而雙曲線上存在定點，使恒成立．