Question

如圖，在四棱錐中，底面為矩形， 為等邊三角形，，點為中點，平面平面.

（1）求異面直線和所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小.

Answer 1

（1）異面直線和所成角的余弦值為;（2）二面角的大小為.

試題分析：（1）建立如圖所示坐標系,寫出各點的空間坐標，利用，夾角的余弦，得出兩異面直線和所成角的余弦值. （2）利用平面的法向量與平面的法向量的夾角，求出二面角的大小.
試題解析：

解：取的中點，連接，為等邊三角形，
，又平面平面， 2分
以為原點，過點垂直的直線為軸，為軸， 為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.，不妨設,依題意可得：
 3分
（1）,
從而 ,
 5分
于是異面直線和所成角的余弦值為.6分
（2）因為，所以是平面的法向量，8分
設平面的法向量為，又，
由 即，令得 10分
于是 11分
從而二面角的大小為.                     12分