Question

（2012•菏澤一模）已知函數f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）．
（Ⅰ）當t＜1時，求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設f（-2）=m，f（t）=n，求證m＜n；
（Ⅲ）設g（x）=f（x）+（x-2）e^x，判斷并證明是否存在區間[a，b]（a＞1）使函數y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2），知f′（x）=（2x-3）e^x+e^x（x²-3x+3）=e^xx（x-1）．由此能求出當t＜1時，函數y=f（x）的單調區間．
（Ⅱ）m=f（-2）=13e^-2，n=f（t）=（t²-3t+3）e^t，設h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，故h′（t）（2t-3）e^t+e^t（t²-3t+3）=e^t（t²-3t+3），列表討論知h（t）的極小值為h（1）=e-

13

e2

=

e3-13

e2

＞0，由此能夠證明n＞m．
（Ⅲ）由g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x=（x-1） 2 e^x，知g′（x）=（2x-2）e^x+e^x（x²-2x+1）=e^x（x²-1），設x＞1時，存在[a，b]，使y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．由此能夠推導出不存在區間[a，b]滿足題意．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2），
∴f′（x）=（2x-3）e^x+e^x（x²-3x+3）=x（x-1）e^x．
①當-2＜t≤0時，x∈（-2，t），f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
②當0＜t＜1時，x∈（-2，0），f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
x∈（0，t），f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
綜上所述，當-2＜t≤0時，y=f（x）單調遞增區間為（-2，t）；
當0＜t＜1時，y=f（x）單調遞增區間為（-2，0），減區間為（0，t）．
（Ⅱ）m=f（-2）=13e^-2，n=f（t）=（t²-3t+3）e^t，
設h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，
∴h′（t）（2t-3）e^t+e^t（t²-3t+3）=e^t（t²-3t+3）
=e^tt（t-1），（t＞-2）．
h（t），h′（t）隨t變化如下表：

t	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h′（t）	+	0	-	0	+
h（t）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由上表知h（t）的極小值為h（1）=e-

13

e2

=

e3-13

e2

＞0，
又h（-2）=0，
∴當t＞-2時，h（t）＞h（-2）＞0，即h（t）＞0．
因此，n-m＞0，即n＞m．
（Ⅲ）g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x=（x-1） 2 e^x，
g′（x）=（2x-2）e^x+e^x（x²-2x+1）=e^x（x²-1），
設x＞1時，存在[a，b]，使y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
因為x＞1時，g′（x）＞0，所以y=g（x）單調遞增．
故應有

g(a)=(a-1)2ea=a g(b)=(b-1)2eb=b

，
即方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的不等根，
設∅（x）=（x-1）²e^x-x，（x＞1），
∅′（x）=e^x（x²-1）-1，
設k（x）=e^x（x²-1）-1，（x＞1），k′（x）=e^x（x²+2x-1），
當x＞1時，k′（x）＞0，即k（x）在（1，+∞）遞增，
又k（1）=-1＜0，k（2）=3e²-1＞0．
∴x∈（1，2）存在唯一的x₀，使k（x₀）=0．
即存在唯一的x₀，使∅  ‘（x₀）=0．
∅（x），∅′（x）隨x的變化如下表：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
∅（x）	-	0	+
∅′（x）	↓	極小值	↑

由上表知，∅（x₀）＜∅（1）=-1＜0，
∅（2）=e²-2＞0，
故y=∅（x）的大致圖象如圖，
因此∅（x）在（1，+∞）只能有一個零點，
這與∅（x）=0有兩個大于1的不等根矛盾，
故不存在區間[a，b]滿足題意．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查不等式的證明，探索滿足條件的區間是否存在．綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用．