Question

已知函數的導數為實數，.

（Ⅰ）若在區間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設函數，試判斷函數的極值點個數。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）或（Ⅲ）時極值點個數0，當時兩個極值點

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，        1分

由得.

，當時，遞增；

當時，，遞減.

在區間［-1，1］上的最大值為.      2分

又.

由題意得，即，得為所求。        4分

（Ⅱ）解：由（1）得，點P（2，1）在曲線上。

當切點為P（2，1）時，切線的斜率，

的方程為.      5分

當切點P不是切點時，設切點為切線的余率，

的方程為。又點P（2，1）在上，，

，

.切線的方程為.

故所求切線的方程為或.              8分

（Ⅲ）解：.

.

.

二次函數的判別式為

得：

.令，得，或。        10分

因為，

時，，函數為單調遞增，極值點個數0；   11分

當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，

可知函數有兩個極值點.                12分

考點：導數的幾何意義及函數的極值最值

點評：利用導數的幾何意義：函數在某一點處的導數值等于該點處的切線斜率，利用幾何意義在求解第二問時需分點是否在曲線上兩種情況；函數在閉區間上的最值出現在極值點或區間的邊界處，函數存在極值需滿足函數的導數值有正有負