Question

已知 
(1)若的最小值記為，求的解析式．
(2)是否存在實數，同時滿足以下條件：①；②當的定義域為[，]時，值域為[，]；若存在，求出，的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1) ；(2) 滿足條件的實數m，n不存在．

解析試題分析：(1)利用換元法令 ，可知 ，原函數化為 ，利用一元二次函數求最值，可得最小值的解析式；(2)由 ①知m＞n＞3，故，由函數的單調性知
12?6m＝n²，12?6n＝m²  得m+n=6與m＞n＞3矛盾，故不存在．
解：（1）令，∵∴，  1分
 ，對稱軸．  2分
①
②，
③，   5分
∴  7分
（2）因為在（3，+∞）上為減函數，而m＞n＞3，
∴在[n，m]上的值域為[h（m），h（n）]，    （8分）
∵在[n，m]上的值域為[，]，
∴h(m)＝n²， h(n)＝m²  
即：12?6m＝n² ，12?6n＝m²      （9分）
兩式相減得：6（m-n）=（m-n）（m+n）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3時，有m+n＞6，矛盾． （12分）
故滿足條件的實數m，n不存在． （13分）
考點：換元法，一元二次函數的最值，函數的單調性．