Question

如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2

2

，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面體PEFC的體積．

Answer 1

分析：（1）設G為PC的中點，連接FG，EG，根據中位線定理得到FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD，進而可得到AF∥GE，再由線面平行的判定定理可證明AF∥平面PCE，得證．
（2）根據PA=AD=2可得到AF⊥PD，再由線面垂直的性質定理可得到PA⊥CD，然后由AD⊥CD結合線面垂直的判定定理得到CD⊥平面PAD，同樣得到GE⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得證．
（3）先由（2）可得知EG為四面體PEFC的高，進而求出S_△PCF，根據棱錐的體積公式可得到答案．

解答：解：（1）證明：設G為PC的中點，連接FG，EG，
∵F為PD的中點，E為AB的中點，
∴FG

∥ .

.

1

2

CD，AE

∥ .

.

1

2

CD
∴FG

∥ .

.

AE，∴AF∥GE
∵GE?平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
 
（2）證明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE?平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；

（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，
所以EG為四面體PEFC的高，
又GF∥CD，所以GF⊥PD，
EG=AF=

2

，GF=

1

2

CD=

2

，
S_△PCF=

1

2

PD•GF=2．
得四面體PEFC的體積V=

1

3

S_△PCF•EG=

2 2

3

．

點評：本題主要考查線面垂直的判定定理和性質定理、面面垂直的判定定理．考查對立體幾何中基本定理的掌握程度和靈活運用能力．