Question

S_n是無窮等比數列{a_n}的前n項和，公比q≠1，已知1是

1

2

S₂和

1

3

S₃的等差中項，6是2S₂和3S₃的等比中項．
（1）求S₂和S₃的值；
（2）求此數列的通項公式；
（3）求此數列的各項和S．

Answer 1

分析：（1）直接根據1是

1

2

S₂和

1

3

S₃的等差中項，6是2S₂和3S₃的等比中項列出關于S₂和S₃的方程，解方程組即可求值；
（2）結合第一問的結果求出首項和公比，進而求出通項；
（3）直接根據其公比的絕對值的范圍，代入公式即可．

解答：解：（1）由題得：

1 2 s2+  1 3 s3=2 2s2•3s3=36

⇒s₂=2，s₃=3．
（2）由

a1+a1q=2 a1+a1q+a1q2=3

⇒

a1=4 q=- 1 2

或

a1=1 q=1

（舍）．
∴a_n=4•（-

1

2

）^n-1．
（3）∵|q|=|-

1

2

|=

1

2

＜1．
∴s=

a1

1-q

=

4

1- (- 1 2 )

=

8

3

．

點評：本題主要考察等差數列和等比數列的綜合問題．解決這類題目的關鍵在于能熟練運用等差數列和等比數列的性質．