Question

在直角標系xOy中，點（2，-2）在矩陣M=（

0 1 α 0

）對應變換作用下得到點（-2，4），曲線C：x²+y²=1在矩陣M對應變換作用下得到曲線C'，求曲線C'的方程．

Answer 1

分析：先根據變換的對應點，列式解出α=2，得M=（

0 1 2 0

）．再設曲線C上任意一點P（x₀，y₀），根據矩陣變換的公式求出對應的點P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，將點P的坐標代入曲線C方程，化簡即得曲線C'的方程．

解答：解：根據題意，得（

0 1 α 0

）（

2   -2

）=（

-2   4

）
∴2α=4，可得α=2，即M=（

0 1 2 0

）
設P（x₀，y₀）是曲線C：x²+y²=1上任意一點，
則點P（x₀，y₀）在矩陣M對應的變換下變為點P′（x，y）
則有（

x   y

）=（

0 1 2 0

）（

x0   y0

），即

x=y0 y=2x0

，所以

x0= 1 2 y y0=x

又∵點P在曲線C：x²+y²=1上，
∴

y2

4

+x²=1，即曲線C'的方程為橢圓x²+

y2

4

=1．

點評：本題給出矩陣變換，求曲線C在矩陣M對應變換作用下得到的曲線C'方程，著重考查了矩陣與變換的運算、曲線方程的求法等知識，屬于中檔題．利用求軌跡方程的方法進行求解，是解決本題的一般方法．