Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|2x-1|+|x+1|．
（I）求f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≤a有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）f（x）＞2即|2x-1|+|x+1|＞2．（*）當x≥

1

2

時，（*）化為2x-1+x+1＞2，解得即可；當x≤-1時，（*）化為-（2x-1）-（x+1）＞2，解得即可；當-1＜x＜

1

2

時，化為1-2x+x+1＞2，解得即可；
（II）關于x的不等式f（x）≤a有解?a≥f（x）_min．由于f（x）=

3x，x≥ 1 2 2-x，-1＜x＜ 1 2 -3x，x≤-1

，利用一次函數的單調性即可得出f（x）的最小值．

解答：解：（I）f（x）＞2即|2x-1|+|x+1|＞2．（*）
當x≥

1

2

時，（*）化為2x-1+x+1＞2，解得x＞

2

3

，∴x＞

2

3

．
當x≤-1時，（*）化為-（2x-1）-（x+1）＞2，即x＜-

2

3

，∴x≤-1．
當-1＜x＜

1

2

時，化為1-2x+x+1＞2，解得x＜0，∴-1＜x＜0．
綜上可知：f（x）＞2的解集是{x|x＜0或x＞

2

3

}；
（II）f（x）=

3x，x≥ 1 2 2-x，-1＜x＜ 1 2 -3x，x≤-1

，
可知：當x≥

1

2

時，f(x)≥

3

2

；當-1＜x＜

1

2

時，

3

2

＜f(x)＜3；當x≤-1時，f（x）≥f（-1）=3．
綜上可知：f(x)min=

3

2

．
∵關于x的不等式f（x）≤a有解，∴a≥f(x)min=

3

2

．
∴a的取值范圍是[

3

2

，+∞)．

點評：本題考查了通過分類討論去掉絕對值符號解不等式、求最小值等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．