Question

如圖，在直角坐標系中，有一組對角線長為的正方形，

其對角線依次放置在軸上（相鄰頂點重合）.設是首項為，公差為的等差數列，點的坐標為.

（1）當時，證明：頂點不在同一條直線上；

（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點均落在拋物線上；

（3）為使所有頂點均落在拋物線上，求與之間所應滿足的關系式.

Answer 1

解答：本題主要考查直線方程、直線和拋物線的位置關系以及數列的綜合問題.

[證明]（1）由題意可知，，

    ∴

    ，

    ∴頂點不在同一條直線上

    （2）由題意可知，頂點的橫坐標，

    頂點的縱坐標

    ∵對任意正整數，點的坐標滿足方程，

    ∴所有頂點均落在拋物線上

    （3）[解法一] 由題意可知，頂點的橫、縱坐標分別是

   

    消去，可得 .

    為使得所有頂點均落在拋物線上，則有

      解之，得 .

    ∴所應滿足的關系式是：.

    [解法二] 點的坐標為

    ∵點在拋物線上，

    ∴.

    又點的坐標為 且點也在拋物線上，

    ，把點代入拋物線方程，解得 .

    因此，，∴拋物線方程為.

    又

    ∴有頂點落在拋物線上.

    ∴所應滿足的關系式是：