Question

（湖北卷理19）如圖，在以點為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點，

，曲線是滿足為定值的動點的軌跡，且曲線過點.

（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線的方程；

（Ⅱ）設過點的直線l與曲線相交于不同的兩點、.

若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.

Answer 1

解：本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分）

（Ⅰ）解法1：以O為原點，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.

設實平軸長為a，虛半軸長為b，半焦距為c，則c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.

∴曲線C的方程為.

解法2：同解法1建立平面直角坐標系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜AB｜＝4.∴曲線C是以原點為中心，A、B為焦點的雙曲線.

設雙曲線的方程為＞0，b＞0）.

則由　 解得a²=b²=2,

∴曲線C的方程為

(Ⅱ)解法1：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

                       ②

設E（x，y），F(x₂,y₂)，則由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原點O到直線l的距離d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面積不小于2,即S_△OEF，則有

        ③

綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為 

解法2：依題意，可設直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

∴..   ②

設E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),則由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

當E、F在同一去上時（如圖1所示），

S_△OEF＝

當E、F在不同支上時（如圖2所示）.

S_△ODE=

綜上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面積不小于2

     　④

綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為