Question

已知圓錐母線長為6，底面圓半徑長為4，點是母線的中點，是底面圓的直徑，底面半徑與母線所成的角的大小等于．

（1）當時，求異面直線與所成的角；
（2）當三棱錐的體積最大時，求的值．

Answer 1

（1）或，（2）.

試題分析：（1）求異面直線所成角，關鍵在平移，即將空間角轉化為平面角.利用中位線實現線線之間平移. 連，過作，則等于異面直線與所成的角或其補角.又，所以為異面直線OC與PB所成的角或其補角.明確角之后，只需在相應三角形中求解即可.（2）因為三棱錐的高確定，所以要使得三棱錐的體積最大只要底面積的面積最大．而的兩邊確定為半徑，因此要使得的面積最大，只需兩半徑夾角的正弦值最大，也即為直角.
試題解析：解：（1） 連，過作交于點，連．

又，．又．
，等于異面直線與所成的角或其補角．
，或．     5分
當時，．
，
當時，．，
綜上異面直線與所成的角等于或．      8分
（2）三棱錐的高為且長為，要使得三棱錐的體積最大只要底面積的面積最大．而當時，的面積最大．    10分
又，此時，，      12分