Question

【題目】現有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為 ，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為 ，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊． （Ⅰ）求該射手恰好命中一次得的概率；
（Ⅱ）求該射手的總得分X的分布列及數學期望EX．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D 由題意知P（B）= ，P（C）=P（D）=
由于A=B + +
根據事件的獨立性和互斥性得
P（A）=P（B ）+P（ ）+P（ ）=P（B）P（ ）P（ ）+P（ ）P（C）P（ ）+P（ ）P（ ）P（D）
= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）+（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）×
=
（Ⅱ）根據題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5
根據事件的對立性和互斥性得
P（X=0）=P（ ）=（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）=
P（X=1）=P（B ）= ×（1﹣ ）×（1﹣ ）=
P（X=2）=P（ + ）=P（ ）+P（ ）=（1﹣ ）× ×（1﹣ ）+（1﹣ ）×（1﹣ ）× =
P（X=3）=P（BC ）+P（B D）= × ×（1﹣ ）+ ×（1﹣ ）× =
P（X=4）=P（ ）=（1﹣ ）× × =
P（X=5）=P（BCD）= × × =
故X的分布列為

X	0	1	2	3	4	5
P

所以E（X）=0× +1× +2× +3× +4× +5× =
【解析】（Ⅰ）記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由于A=B + + ，根據事件的獨立性和互斥性可求出所求；（Ⅱ）根據題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，根據事件的對立性和互斥性可得相應的概率，得到分布列，最后利用數學期望公式解之即可．