Question

某單位設計一個展覽沙盤，現欲在沙盤平面內，布設一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB=BC．
（1）設AB=x米，cosA=f（x），求f（x）的解析式，并指出x的取值范圍；
（2）求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△ABD與△CBD中，分別利用余弦定理，即可確定f（x）的解析式，及x的取值范圍；
（2）四邊形ABCD的面積S=（AB•AD+CB•CD）sinA=，構建函數g（x）=（x²-4）（ x²-14x+49），x∈（2，5），求導函數，即可求得四邊形ABCD面積的最大值．
解答：解：（1）設AB=x米，則BC=x米，CD=5-x米，AD=9-x米，
則有5-x＞0，即x＜5．
在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA．
同理，在△CBD中，BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosC． …（3分）
因為∠A和∠C互補，所以AB²+AD²-2AB•AD•cosA=CB²+CD²-2CB•CD•cosC=CB²+CD²+2CB•CD•cosA． …（5分）
即x²+（9-x）²-2 x（9-x）cosA=x²+（5-x）²+2 x（5-x）cosA．
解得cosA=，即f（x）=．
由余弦的定義，有＜1，則x＞2，
故x∈（2，5）．    …（8分）
（2）四邊形ABCD的面積S=（AB•AD+CB•CD）sinA=[x（5-x）+x（9-x）]=．…（11分）
記g（x）=（x²-4）（x²-14x+49），x∈（2，5）．
由g′（x）=2x（x²-14x+49）+（x²-4）（2 x-14）=2（x-7）（2 x²-7 x-4）=0，
∴x=4或x=7或x=-．
∵x∈（2，5），∴x=4．                    …（14分）
所以函數g（x）在區間（2，4）內單調遞增，在區間（4，5）內單調遞減．
因此g（x）的最大值為g（4）=12×9=108．
所以S的最大值為=6．
答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6m²．    …（16分）
點評：本題考查函數解析式，考查余弦定理的運用，考查四邊形面積的計算，考查利用導數求函數的最值，正確表示四邊形的面積是關鍵．