Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上三點A（x₁，y₁），B（4，y₂），C（x₃，y₃）和焦點F（4，0）的距離依次成等差數列．
①求x₁+x₃；
②求證線段AC的垂直平分線過定點，并求出此定點的坐標．

Answer 1

分析：①根據橢圓的性質，橢圓上的點到焦點的距離與其到對應準線的距離之比等于e，將問題轉化為A、B、C三點右準線的距離成等差數列，表示出這三個距離，由等差關系轉化成等式即可化簡出結論．
②由點差法得出直線AC的斜率與其中點坐標的關系，再由垂直得出其垂線的斜率，由點斜式得出中垂線方程，發現其為一過定點的直線，得出此坐標即可．

解答：解：①根據橢圓的性質，橢圓上的點到焦點的距離與其到對應準線的距離之比等于e，
由A、B、C和焦點F（4，0）的距離依次成等差數列，可得A、B、C三點右準線的距離成等差數列；
即|

25

4

-x₁|+|

25

4

-x₃|=2|

25

4

-4|；
又由-5≤x₁、x₃≤5＜

25

4

；
化簡可得x₁+x₃=8
②設直線AC的斜率為k，則AC中點的坐標為（4，t），將A（x₁，y₁），C（x₃，y₃）代入橢圓的方程，
故有

x 12 25 + y 12 9 =1 x 32 25 + y 32 9 =1

兩者作差得

(x1-x3)(x1+x3)

25

+

(y1+y3)(y1-y3)

9

=0，故得

y1-y3

x1-x3

=-  

x1+x3

25

×

9

y1+y3

，即k=-

72

50t

，故t=-

36

25k

又其垂直平分線的斜率為-

1

k

，故垂直平分線方程為y-t=-

1

k

（x-4）即y+

36

25k

=-

1

k

（x-4）故有y=-

1

k

（x-4+

36

25

）=-

1

k

（x-

64

25

）
即中垂線方程為y=-

1

k

（x-

64

25

）
∴過定點(

64

25

，0)

點評：本題考查橢圓的應用，考查了橢圓的第二定義以及直線與橢圓相交進常用的點差法用坐標表示直線的斜率，中垂線方程的求法，及過定點的直線方程定點的求法，本題很抽象，綜合性較強，涉及到了多個解題的技巧，是橢圓中的一個難題．