Question

【題目】已知橢圓C： 的上下焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，P為C上動點，且滿足 |，△QF1F2面積的最大值為4． （Ⅰ）求Q點軌跡E的方程和橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+m（m＞0）與橢圓C相切且與曲線E交于M，N兩點，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓定義得：|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a， 所以點Q的軌跡是以F2為圓心，2a為半徑的圓．
當QF2⊥F1F2時△QF1F2面積最大，所以 得：ac=2
又 可得a=2，c=1．
所以Q點軌跡E的方程x2+（y+1）2=16，橢圓C的方程
（Ⅱ）由 得（3k2+4）x2+6kmx+3m2﹣12=0△=36k2m2﹣4（3k2+4）（3m2﹣12）=0
化簡得：3k2﹣m2+4=0
所以，
由 及m＞0得，m≥2
設圓心F2（0，﹣1）到直線MN的距離為d，則
所以，弦長
設點F1（0，1）到直線MN的距離為h，則
所以，
由m≥2，得：
所以， 的取值范圍為 ．
【解析】（Ⅰ）由橢圓定義得：|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a，點Q的軌跡是以F2為圓心，2a為半徑的圓，當QF2⊥F1F2時△QF1F2面積最大，推出ac=2，結合離心率，然后求解橢圓方程即可．（Ⅱ）聯立 通過△=0，推出 求出m≥2，設圓心F2（0，﹣1）到直線MN的距離為d，求出弦長，設點F1（0，1）到直線MN的距離為h，求出三角形的面積的表達式，然后求解范圍即可．