Question

21、如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，DE交AB于點F．求證：△PDF∽△POC．

Answer 1

分析：要證明△PDF∽△POC，由于已知兩個三角形有個公共角∠P，而題目中未給出與線段對應(yīng)成比例的條件，故可根據(jù)判斷定理一來證明三角形相似，故我們還需要再找到一個相等的角．

解答：證明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，
又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，
從而∠PDF=∠OCP．
在△PDF與△POC中，
∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，
故△PDF∽△POC．

點評：證明三角形相似有三個判定定理：
（1）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似（簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．
（2）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似（簡敘為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．
（3）如果兩個三角形的兩個角分別對應(yīng)相等（或三個角分別對應(yīng)相等），則有兩個三角形相似．我們要根據(jù)已知條件進行合理的選擇，以簡化證明過程．