Question

已知，，圓，一動圓在軸右側與軸相切，同時與圓相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以，為焦點的橢圓。
（1）求曲線C的方程；
（2）設曲線C與曲線E相交于第一象限點P，且，求曲線E的標準方程；
（3）在（1）、（2）的條件下，直線與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線的斜率的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）設動圓圓心的坐標為（x，y）（x＞0），由動圓在y軸右側與y軸相切，同時與圓F₂相外切，知|CF₂|-x=1，由此能求出曲線C的方程．
（2）依題意，c=1，|PF₁|=，得x_p=，由此能求出曲線E的標準方程．
（3）設直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點M的坐標為（x₀，y₀），將A，B的坐標代入橢圓方程中，得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能夠求出直線l的斜率k的取值范圍
解：（1）設動圓圓心的坐標為（x，y）（x＞0）
因為動圓在y軸右側與y軸相切，同時與圓F₂相外切，
所以|CF₂|-x=1，…（1分）
∴(x-1)²+y²=x+1化簡整理得y²=4x，曲線C的方程為y²=4x（x＞0）； …（3分）（2）依題意，c=1，|PF₁|=，得x_p=，…（4分）∴|PF₂|=，又由橢圓定義得2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2．…（5分）∴b²=a²-c²=3，所以曲線E的標準方程為
=1．…（6分）（3）設直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點M的坐標為（x₀，y₀），將A，B的坐標代入橢圓方程中，得3x₁²+4y₁²-12=0，3x₂²+4y₂²-12=0兩式相減得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，∴=-，…（7分）∵y₀²=4x₀，∴直線AB的斜率k==-y₀，…（8分）由（2）知x_p=，∴y_p²=4x_p=，∴y_p=±由題設-＜y₀＜ (y₀≠0)，∴-＜-y₀＜，…（10分）即-＜k＜（k≠0）．…（12分）
點評：本題考查曲線方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意點差法和等價轉化思想的合理運用．