Question

設數列滿足a₁=2，a_n+1-a_n=3•2^2n-1
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=na_n，求數列的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意得a_n+1=[（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）]+a₁=3（2^2n-1+2^2n-3+…+2）+2=2^2（n+1）-1．由此可知數列{a_n}的通項公式為a_n=2^2n-1．
（Ⅱ）由b_n=na_n=n•2^2n-1知S_n=1•2+2•2³+3•2⁵++n•2^2n-1，由此入手可知答案．

解答：解：（Ⅰ）由已知，當n≥1時，a_n+1=[（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）]+a₁
=3（2^2n-1+2^2n-3+…+2）+2=2^2（n+1）-1．
而a₁=2，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2^2n-1．
（Ⅱ）由b_n=na_n=n•2^2n-1知S_n=1•2+2•2³+3•2⁵+…+n•2^2n-1①
從而2²S_n=1•2³+2•2⁵+…+n•2²ⁿ⁺¹②
①-②得（1-2²）•S_n=2+2³+2⁵+…+2^2n-1-n•2²ⁿ⁺¹．
即Sn=

1

9

[(3n-1)22n+1+2]．

點評：本題主要考查數列累加法（疊加法）求數列通項、錯位相減法求數列和等知識以及相應運算能力．