Question

已知函數f（x）=x²-2x+alnx不是單調函數，且無最小值．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設x₀是函數f（x）的極值點，證明：f（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導，函數不是單調函數，則對于f'（x）=0，有解．
（Ⅱ）利用條件x₀是函數f（x）的極值點，確定a的數值，然后證明f（x₀）＜0．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是{x|x＞0}．…（1分）
對f（x）求導數，得f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

．…（3分）
顯然，方程f'（x）=0?2x²-2x+a=0（x＞0）．
若f（x）不是單調函數，且無最小值，則方程2x²-2x+a=0必有2個不相等的正根．…（5分）
所以 

△=4-8a＞0 a 2 ＞0

解得0＜a＜

1

2

．…（7分）
（Ⅱ）設方程2x²-2x+a=0的2個不相等的正根是x₁，x₂，其中x₁＜x₂．
所以f′(x)=

2x2-2x+a

x

=

2(x-x1)(x-x2)

x

．…（9分）
列表分析如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以，x₁是極大值點，x₂是極小值點，f（x₁）＞f（x₂）．
故只需證明f（x₁）＜0．…（11分）
由 0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，得0＜x1＜

1

2

．…（12分）
因為 0＜a＜

1

2

，0＜x1＜

1

2

，
所以 f（x₁）=x₁（x₁-2）+alnx₁＜0．
從而f（x₀）＜0．…（14分）

點評：本題的考點是利用導數研究函數的單調性，以及函數的極值問題．對于參數問題要注意進行分類討論．