Question

已知函數（x≠0）是奇函數，且滿足f（1）=f（4），
（Ⅰ）求實數a、b的值；
（Ⅱ）試證明函數f（x）在區間(0，2]單調遞減，在區間（2，+∞）單調遞增；
（Ⅲ）是否存在實數k同時滿足以下兩個條件：①不等式f（x）+＜0對x∈（0，+∞）恒成立；②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解；若存在，試求出實數k的取值范圍，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由，解得b=4，
由（x≠0）是奇函數，
得恒成立，
即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
任取，
，
，
∴，
∴，
所以，函數f（x）在區間(0，2]單調遞減；類似地，可證f（x）在區間（2，+∞）單調遞增。
（Ⅲ）對于條件①：由（Ⅱ）可知函數f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值，
故若對x∈（0，+∞）恒成立，
則需，
∴；
對于條件②：由（Ⅱ）可知函數f（x）在（-∞，-2）單調遞增，在[-2，0)單調遞減，
∴函數f（x）在[-6，-2]單調遞增，在[-2，-1]單調遞減，
又，，
所以函數f（x）在[-6，-1]上的值域為，
若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，則需，
若同時滿足條件①②，則需；
答：當時，條件①②同時滿足．