Question

某城市的夏季室外溫度y（℃）的波動近似地按照規則y=25+6

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+6

2

cos（

π

12

t+

3

4

π），其中t（h）是從某日0點開始計算的時間，且t≤24．
（1）若在t₀h（t₀≤6）時的該城市室外溫度為19℃，求在t₀+8h時的城市室外溫度；
（2）某名運動員要在這個時候到該城市參加一項比賽，計劃在比賽當天的10時抵達，且于當天16時離去，而該運動員一旦到室外溫度超過36℃的地方就會影響正常發揮，試問該運動員會不會因為氣溫影響而不能正常發揮？

Answer 1

分析：（1）先將函數進行化簡，再利用在t₀h（t₀≤6）時的該城市室外溫度為19℃，求出t₀，進而可求在t₀+8h時的城市室外溫度；
（2）先求出t（h）從10時到16時，城市室外溫度的最大值，再與36進行比較，從而可確定該運動員會不會因為氣溫影響而不能正常發揮．

解答：解：∵y=25+6

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+6

2

cos（

π

12

t+

3

4

π），
∴y=25+12[

2

2

sin（

π

12

t+

3

4

π）+

2

2

cos（

π

12

t+

3

4

π）]，
∴y=25+12sin（

π

12

t+

3

4

π+

π

4

）=25-12sin

π

12

t
（1）∵在t₀h（t₀≤6）時的該城市室外溫度為19℃，
∴19=25-12sin

π

12

t0（t₀≤6）
∴sin

π

12

t0=

1

2

，∴t₀=2
∴t₀+8=10，
∴y=25-12sin

π

12

×10=25-6=19
∴在t₀+8h時的城市室外溫度為19℃；
（2）由題意得，t∈[10，16]，

π

12

t∈[

5π

6

，

4π

3

]，sin

π

12

t∈[-

3

2

，

1

2

]，
∴y=25-12sin

π

12

t∈[19，25+6

3

]
即t∈[10，16]，ymax=25+6

3

比較25+6

3

與36的大小，即比較6

3

與11的大小，
∵6

3

＜11
∴25+6

3

＜36
∴該運動員不會因為氣溫影響而不能正常發揮．

點評：本題借助于具體的三角函數模型，考查三角函數的化簡，考查利用三角函數解決具體問題，考查學生分析解決問題的能力．