Question

（2013•山東）拋物線C₁：y=

1

2p

x2(p＞0)的焦點與雙曲線C₂：

x2

3

-y2=1的右焦點的連線交C₁于第一象限的點M．若C₁在點M處的切線平行于C₂的一條漸近線，則p=（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  3

  8

• C．

  2 3

  3

• D．

  4 3

  3

Answer 1

分析：由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出函數y=

1

2p

x2(p＞0)在x取直線與拋物線交點M的橫坐標時的導數值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點橫坐標與p的關系，把M點的坐標代入直線方程即可求得p的值．

解答：解：由y=

1

2p

x2(p＞0)，得x²=2py（p＞0），
所以拋物線的焦點坐標為F（0，

p

2

）．
由

x2

3

-y2=1，得a=

3

，b=1，c=

a2+b2

=

3+1

=2．
所以雙曲線的右焦點為（2，0）．
則拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線所在直線方程為

y-0

p 2 -0

=

x-2

0-2

，
即

p

2

x+2y-p=0①．
設該直線交拋物線于M（x0，

x02

2p

），則C₁在點M處的切線的斜率為

x0

p

．
由題意可知

x0

p

=

b

a

=

3

3

，得x0=

3

3

p，代入M點得M（

3 p

3

，

p

6

）
把M點代入①得：

3 p2

3

+

2

3

p-2p=0．
解得p=

4 3

3

．
故選D．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，函數在曲線上某點處的切線的斜率等于函數在該點處的導數，是中檔題．