Question

【題目】對于數列，若（是與無關的常數,）則稱數列叫做“弱等差數列”已知數列滿足：且,對于恒成立，（其中都是常數）

（1）求證：數列是“弱等差數列”，并求出數列的通項公式

（2）當時，若數列是單調遞增數列，求的取值范圍

（3）若，且，數列滿足：，求

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；；（2）；（3）

【解析】

（1）由與已知等式作差可證得，從而證得結論；分別在和兩種情況下利用等差數列通項公式求得通項，從而得到結果；

（2）由數列的單調性得到，從而得到恒成立的不等式，解不等式可求得結果；

（3）采用裂項相消的方式可得到；由極限的思想可得到，從而整理可得到，代入通項公式可求得結果.

（1）由得：

為常數 數列為“弱等差數列”

當為奇數時，設，則成等差數列，公差為

當為偶數時，設，則成等差數列，公差為

綜上所述：

（2）當，時，

是單調遞增數列

由得：；由得：

綜上所述：的取值范圍為

（3）