Question

（本小題12分）定義：若函數f（x）對于其定義域內的某一數x₀，有f（x₀）= x₀，則稱x₀是f（x）的一個不動點．已知函數f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點；
（2）若對任意的實數b，函數f（x）恒有兩個不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上兩個點A、B的橫坐標是函數f（x）的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+對稱，求b的最小值．

Answer 1

（１）-1或3；（２）0<a<1；（３）b_min=-1

（1）f（x）=x²-x-3，由x²-x-3=x，解得 x=3或-1，
所以所求的不動點為-1或3．                        ………………………3分
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，則ax²+bx+b-1="0      " ①
由題意，方程①恒有兩個不等實根，所以△=b²-4a（b-1）>0，
即b²-4ab+4a>0恒成立，………………………………5分
則△¢=16a²-16a＜0，故0<a<1 …………………………7分
（3）設A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），則k_AB=1，∴k=﹣1，
所以y=-x+，                 ……………………………………8分
又AB的中點在該直線上，所以=﹣+，
∴x₁+x₂=，
而x₁、x₂應是方程①的兩個根，所以x₁+x₂=﹣，即﹣=，
∴b=﹣                   …………………………………………10分
=-=-
∴當 a=∈（0，1）時，b_min="-1              " ．………………………………12分