Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

nx2+mx，x∈R，
（1）若f（x）的單調減區間是（1，2），求f（x）的零點；
（2）若0＜m＜3，0＜n＜3，求f（x）在區間（1，2）上是減函數的概率．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，由函數的減區間為（1，2），可知導函數對應方程的兩根為1，2，利用跟與系數的關系列式可求n和m的值，代入原函數后求解對應的3次方程可得函數f（x）的零點；
（2）函數f（x）在區間（1，2）上是減函數，說明其導函數在x∈（1，2）時小于0恒成立，結合二次函數的圖象列出關于m，n的不等式組，即得到關于m，n的約束條件，建系后找出可行域，利用幾何概型可求f（x）在區間（1，2）上是減函數的概率．

解答：解：（1）由f′(x)=

1

3

x3-

1

2

nx2+mx，得：f′（x）=x²-nx+m，
∵f（x）的單調減區間是（1，2）∴方程x²-nx+m=0的兩根為1和2，
∴

n=1+2 m=1×2

∴

n=3 m=2

，∴f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x．
令f（x）=0，即

1

3

x3-

3

2

x2+2x=0，得x=0或

1

3

x2-

3

2

x+2=0（*）
對于方程（*），其判別式△=(-

3

2

)2-4×

1

3

×2=-

5

12

＜0，∴該方程無解．
∴函數f（x）的零點為0．
（2）f′（x）=x²-nx+m，若f（x）在區間（1，2）上為減函數，則f′（x）＜0對x∈（1，2）恒成立，
由f′（x）是開口向上拋物線，所以

f′(1)≤0 f′(2)≤0

，即

1-n+m≤0 4-2n+m≤0

，
建立直角坐標系，橫軸為n軸，縱軸為m軸．

直線1-n+m=0與n軸交點為A（1，0），
直線4-2n+m=0與n軸交點為B（2，0），
求解方程組

1-n+m=0 4-2n+m=0

⇒

m=2 n=3

，即交點C（3，2）．
所以，滿足條件的可行域為圖中陰影部分，
可行區域面積為

1

2

×1×2=1，
故f（x）在區間（1，2）上是減函數的概率P=

1

3×3

=

1

9

．

點評：本題考查了利用導函數研究函數的單調性，考查了導函數的零點與原函數單調區間之間的關系，考查了函數零點的求法，訓練了數形結合求解幾何概型題，解答此題的關鍵是找準測度比，此題是中高檔題．