Question

【題目】如圖，已知 AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．
（I）求證：AC⊥平面BCE；
（II）求三棱錐E﹣BCF的體積．

Answer 1

【答案】（I）證明：過C作CM⊥AB，垂足為M，
∵AD⊥DC，∴四邊形ADCM為矩形，
∴AM=MB=2，
∵AD=2，AB=4，
∴AC=2，CM=2，BC=2
∴AB2=AC2+BC2 ， 即AC⊥BC，
∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
∴EB⊥平面ABCD，
∵AC平面ABCD，∴AC⊥EB，
∵EB∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE；
（II）解：∵AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥CM，
∴CM⊥AB，AB∩AF=A，
∴CM⊥平面ABEF，
∴VE﹣BCF=VC﹣BEF=xBEXEFXCM=X2X4X2=．

【解析】（I）過C作CM⊥AB，垂足為M，利用勾股定理證明AC⊥BC，利用EB⊥平面ABCD，證明AC⊥EB，即可證明AC⊥平面BCE；
（II）證明CM⊥平面ABEF，利用VE﹣BCF=VC﹣BEF ， 即可求三棱錐E﹣BCF的體積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．