Question

【題目】已知二次函數滿足下列3個條件:①函數的圖象過坐標原點； ②函數的對稱軸方程為； ③方程有兩個相等的實數根.

（1）求函數的解析式；

（2）令，若函數在上的最小值為－3，求實數的值；

（3）令，若函數在內有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）由題意可設，再結合求解即可；

（2）討論當時，當時，當時，函數在的單調性求最小值即可得解；

（3）先由，又函數在內有零點，則，再求解即可.

解：（1）由二次函數滿足函數的圖象過坐標原點，則可設，又函數的對稱軸方程為，

則即，又方程有兩個相等的實數根，即有兩個相等的實數根，則，即，即；

（2）由（1）得，

當時，在上為增函數，則，解得，不合題意，

當時，在上為減函數，則，解得，符合題意，

當時， ，解得，

故實數的值為或；

（3）由（1）得：，

由函數在內有零點，則方程在內有解，

則，解得，

故實數的取值范圍為：.