Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（

3

cosx，2cosx），定義函數f（x）=

a

•

b

-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）當x∈[-

7π

12

，

5π

12

]時，求函數f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積化簡函數的表達式，通過二倍角兩角和的正弦函數化為一個角的一個三角函數的形式，求函數f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）當x∈[-

7π

12

，

5π

12

]時，求出-π≤2x+

π

6

≤π，推出-

π

3

≤x≤

π

6

函數單調遞增，然后求得函數f（x）的單調增區間．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
∴函數的周期T=

2π

|ω|

=π．令2x+

π

6

=kπ得x=-

π

12

+

kπ

2

  （k∈Z）．
所以函數的對稱中心為（-

π

12

+

kπ

2

，0） （k∈Z）．
（2）當x∈[-

7π

12

，

5π

12

]時-π≤2x+

π

6

≤π，
∴當-

π

2

≤2x+

π

6

≤

π

2

即-

π

3

≤x≤

π

6

時，函數f（x）單調遞增，
故函數f（x）的單調增區間為：[-

π

3

，

π

6

]．

點評：本題主要考查了三角函數的化簡以及對稱性的應用，兩角和公式的化簡求值．函數單調區間的求法，考查了學生綜合運用所學知識解決問題的能力．