Question

已知函數f（x）=lnx-x²+x+2
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在區間（0，a]上的最大值；
（III）設函數g（x）=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，（m∈R），試討論函數f（x）與g（x）圖象交點的個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，求導函數，利用導數的正負，可得函數的單調區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）的單調遞增區間是（0，1）；單調遞減區間是（1，+∞），對a分類討論，確定函數的單調性，從而可得函數在區間（0，a]上的最大值；
（Ⅲ）討論函數f（x）與g（x）圖象交點的個數，即討論方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的個數，該方程為lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx，只需討論方程

lnx

x

=x2-2ex+m在（0，+∞）上根的個數．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x²+x+2，其定義域為（0，+∞）．（1分）
∴f′(x)=

-(2x+1)(x-1)

x

．（2分）
∵x＞0，∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
故函數f（x）的單調遞增區間是（0，1）；單調遞減區間是（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）的單調遞增區間是（0，1）；單調遞減區間是（1，+∞）．
當0＜a≤1時，f（x）在區間（0，a]上單調遞增，f（x）的最大值f（x）_max=f（a）=lna-a²+a+2；
當a＞1時，f（x）在區間（0，1）上單調遞增，在（1，a）上單調遞減，則f（x）在x=1處取得極大值，也即該函數在（0，a]上的最大值，此時f（x）的最大值f（x）_max=f（1）=2；
∴f（x）在區間（0，a]上的最大值f(x)=

lna-a2+a+2，0＜a≤1 2，a＞1

…（8分）
（Ⅲ）討論函數f（x）與g（x）圖象交點的個數，即討論方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的個數．
該方程為lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx．
只需討論方程

lnx

x

=x2-2ex+m在（0，+∞）上根的個數，…（9分）
令u（x）=

lnx

x

（x＞0），v（x）=x²-2ex+m．
因u（x）=

lnx

x

（x＞0），u′（x）=

1-lnx

x2

，令u′（x）=0，得x=e，
當x＞e時，u′（x）＜0；當0＜x＜e時，u′（x）＞0，∴u（x）_max=u（e）=

1

e

，
當x→0⁺時，u（x）=

lnx

x

→-∞； 當x→+∞時，

lnx

x

→0，但此時u（x）＞0，且以x軸為漸近線．
如圖構造u（x）=

lnx

x

的圖象，并作出函數v（x）=x²-2ex+m的圖象．
①當m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

時，方程無根，沒有公共點；
②當m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

時，方程只有一個根，有一個公共點；
③當m-e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

時，方程有兩個根，有兩個公共點．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查函數圖象的交點，考查數形結合的數學思想，綜合性強，難度大．