Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：對m∈R，直線l與C總有兩個不同的交點；
（2）設l與C交于A、B兩點，若|AB|=

17

，求l的方程；
（3）若l與圓C交于A、B兩點且以AB為直徑的圓過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標和圓的半徑r，
（1）利用兩點間的距離公式求出（1，1）到圓心的距離d，判斷得到d小于半徑r，得到（1，1）在圓內，而直線l恒過（1，1），故對于任意的實數m，直線l與C總有兩個不同的交點；
（2）利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，由弦長|AB|的一半，d，及圓的半徑列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出直線l的方程；
（3）由l與圓C交于A、B兩點且以AB為直徑的圓過坐標原點，根據直徑所對的圓周角為直角，可得直線OA與直線OB垂直，即兩直線斜率的乘積為-1，設出A和B的坐標，將直線l與圓的方程聯立，消去y后得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理表示出x₁x₂，同理消去x得到關于y的一元二次方程，利用韋達定理表示出y₁y₂，由斜率乘積為-1，得到的x₁x₂+y₁y₂=0，將表示出的x₁x₂和y₁y₂代入，得到關于m的方程，由根的判別式得到方程無解，即不存在m使l與圓C交于A、B兩點且以AB為直徑的圓過坐標原點，即直線l的方程無解．

解答：解：由圓的方程，得到圓心C坐標為（0，1），半徑r=

5

，
（1）∵直線l：mx-y+1-m=0變形得：m（x-1）=y-1，
∴直線l恒過（1，1），
∵（1，1）到圓心的距離d=

(1-0)2+(1-1)2

=1＜

5

，
∴此點在圓內，
∴對m∈R，直線l與C總有兩個不同的交點；
（2）∵圓心到直線l的距離d=

|m|

1+m2

，弦長|AB|=

17

，且r=

5

，
∴|AB|=2

r2-d2

，即17=4（5-

m2

1+m2

），
整理得：3（1+m²）=4m²，即m²=3，
解得：m=

3

，或m=-

3

，
則直線l的方程為

3

x-y+1-

3

=0或

3

x+y-1+

3

=0；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l與圓的方程聯立得：

x2+(y-1)2=5① mx-y+1-m=0②

，
由②得：y=mx+1-m，
代入①消去y得：x²+（mx+1-m-1）²=5，
整理得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴x₁x₂=

m2-5

1+m2

，
由②得：x=

y+m-1

m

，
代入①消去x得：

(y+m-1)2

m2

+（y-1）²=5，
整理得：（1+m²）y²+2（m-1-m²）y-3m²-2m+1=0，
∴y₁y₂=

-3m2-2m+1

1+m2

，
又以AB為直徑的圓過坐標原點，
∴∠AOB=90°，
∴k_直線AO•k_直線BO=-1，即

y1y2

x1x2

=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即

m2-5

1+m2

+

-3m2-2m+1

1+m2

=

-2m2-2m-4

1+m2

=0，
∴m²+m+2=0，
∵△=1-8=-7＜0，
∴此方程無解，
則不存在m使直線l與圓C交于A、B兩點且以AB為直徑的圓過坐標原點．即滿足題意的直線l方程不存在．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，以及恒過定點的直線方程，直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，利用弦長的一半，圓的半徑以及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．