Question

【題目】已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上， 的中心和的頂點均為原點，從， 上分別取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

	3	-2	4
		0	-4

（1）求的標準方程；

（2）若直線與橢圓交于不同的兩點，且線段的垂直平分線過定點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ： .；(2) .

【解析】試題分析：（1）先分析出點， 在拋物線上，點， 在橢圓上，利用待定系數法可得到的標準方程；（2）設， ，將代入橢圓方程，消去得，利用韋達定理以及中點坐標公式可得線段的垂直平分線的方程為，由點在直線上，得，結合判別式大于零可得實數的取值范圍.

試題解析：：（1）設拋物線，則有，據此驗證4個點知， 在拋物線上，易求.

設，把點， 代入得：

，解得，所以的方程為.

（2）設， ，將代入橢圓方程，消去得，

所以，即.①

由根與系數關系得，則，

所以線段的中點的坐標為.

又線段的垂直平分線的方程為，

由點在直線上，得，

即，所以，

由①得，所以，即或，

所以實數的取值范圍是.