Question

（04年上海卷理）(18分)

設P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲線C上的點, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²構成了一個公差為d(d≠0) 的等差數列, 其中O是坐標原點. 記S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)      若C的方程為=1,n=3. 點P₁(3,0) 及S₃=255, 求點P₃的坐標；

 (只需寫出一個)

(2)若C的方程為(a>b>0). 點P₁(a,0), 對于給定的自然數n, 當公差d變化時, 求S_n的最小值；

. (3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P₁,對于給定的自然數n,寫出符合條件的點P₁, P₂,…P_n存在的充要條件,并說明理由.

Answer 1

解析：(1) a₁=²=100,由S₃=(a₁+a₃)=255,得a₃=³=70.

由	=1	,得	x=60
	x+y=70		y=10

  

 

 

 

 

 

  ∴點P₃的坐標可以為(2, ).

 (2) 【解法一】原點O到二次曲線C:(a>b>0)上各點的最小距離為b,最大距離為a.

    ∵a₁=²=a², ∴d<0,且a_n=²=a²+(n－1)d≥b²,

    ∴≤d<0. ∵n≥3,>0

    ∴S_n=na²+d在[,0)上遞增,

  故S_n的最小值為na²+?=.

  【解法二】對每個自然數k(2≤k≤n),

        

由	x+y=a2+(k－1)d	,解得y=
	+=1

     ∵0< y≤b²,得≤d<0

     ∴≤d<0

    以下與解法一相同.

   (3) 【解法一】若雙曲線C:－=1,點P₁(a,0),

   則對于給定的n, 點P₁, P₂,…P_n存在的充要條件是d>0.

   ∵原點O到雙曲線C上各點的距離h∈[,+∞),且=a²,

   ∴點P₁, P₂,…P_n存在當且僅當²>²,即d>0.

   【解法二】若拋物線C:y²=2x,點P₁(0,0),

   則對于給定的n, 點P₁, P₂,…P_n存在的充要條件是d>0.理由同上

   【解法三】若圓C:(x－a)+y²=a²₍a≠0₎, P₁(0,0),

    則對于給定的n, 點P₁, P₂,…P_n存在的充要條件是0<d≤.

    ∵原點O到圓C上各點的最小距離為0,最大距離為2,

   且=0, ∴d>0且²=(n－1)d≤4a².即0<d≤.