Question

橢圓C：的兩個焦點F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是橢圓C上一點，且滿足．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；（2）設O為坐標原點，P是橢圓C上的一個動點，試求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁•MF₂cos∠F₁MF₂=4c²
即：（MF₁+MF₂）²-3MF₁•MF₂=4c²
即：4a²-3MF₁•MF₂=4c²，則3MF₁•MF₂=4a²-4c²，當且僅當MF₁=MF₂=a時，取等號
∴4a²-4c²≤3a²，即a²≤4c²
∴即
（2）令OP=m，則m∈[b，a]
又PF₁+PF₂=2a
在三角形O與三角形O中分別用余弦定理表示出PF₁²與PF₂²兩式相加可得：PF₁²+PF₂²=2m²+2c²
則（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²）
∴
∵m∈[b，a]，∴
即，
∴t的取值范圍是．
分析：（1）在△MF₁F₂中，根據余弦定理得4a²-3MF₁•MF₂=4c²，則3MF₁•MF₂=4a²-4c²結合基本不等式即可求得，當且僅當MF₁=MF₂=a時，a²≤4c²從而求橢圓的離心率e的取值范圍．
（2）令OP=m，結合橢圓的定義由余弦定理可得（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²），得到最后利用放縮法即可求得t的取值范圍是．
點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．