Question

（08年正定中學一模理）    （12分）        

     設數列{a_n}的各項都是正數，且對任意n∈N⁺，都有，記S_n為數列{a_n}的前n項和.

  

   （1）求數列{a_n}的通項公式；

   （2）若（為非零常數，n∈N⁺），問是否存在整數，使得對任意 n∈N⁺，都有b_n+1>b_n.

Answer 1

解析:（1）在已知式中，當n=1時，

    ∵a₁>0   ∴a₁=1………………………………………………………………1分

    當n≥2時，  ①

      ②

    ①－②得，

    ∵a_n>0  ∴==2S_n－a_n

    ∵a₁=1適合上式…………………………3分.

          當n≥2時， =2S_n－1－a_n－1  ④

        ③－④得－=2(S_n－S_n－1)－a_n+a_n－1=2a_n－a_n+ a_n－1= a_n+ a_n－1

        ∵a_n+a_n－1>0   ∴a_n－a_n－1=1

∴數列{a_n}是等差數列，首項為1，公差為1，可得a­_n=n………………5分

   （2）∵

       

∴ ⑤………………………………………………………….7分

當n=2k－1，k=1，2，3，……時，⑤式即為  ⑥

依題意，⑥式對k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………..9分

當n=2k，k=1，2，3，…時，⑤式即為  ⑦

依題意，⑦式對k=1，2，3，……都成立，

∴……………………………………………………………………………..11分

∴

∴存在整數λ=－1，使得對任意n∈N，都有b_n+1>b_n……………………………12分