Question

已知點(diǎn)A（-1，2）是拋物線(xiàn)C：y=2x²上的點(diǎn)，直線(xiàn)l₁過(guò)點(diǎn)A，且與拋物線(xiàn)C 相切，直線(xiàn)l₂：x=a（a≠-1）交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)B，交直線(xiàn)l₁于點(diǎn)D．
（1）求直線(xiàn)l₁的方程；
（2）設(shè)△BAD的面積為S₁，求|BD|及S₁的值；
（3）設(shè)由拋物線(xiàn)C，直線(xiàn)l₁，l₂所圍成的圖形的面積為S₂，求證：S₁：S₂的值為與a無(wú)關(guān)的常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=2x²，得y′=4x．當(dāng)x=-1時(shí)，y'=-4．由此能求出l₁的方程．
（2）由，得：B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2a²）．由，得D點(diǎn)坐標(biāo)（a，-4a-2）．點(diǎn)A到直線(xiàn)BD的距離為|a+1|．由此能求出|BD|及S₁的值．
（3）當(dāng)a＞-1時(shí)，S₁=（a+1）³，S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx=．S₁：S₂=．當(dāng)a＜-1時(shí)，S₁=-（a+1）³，S₂=∫_a^-1[2x²-（-4x-2）]dx=∫_a^-1（2x²+4x+2）dx=．S₁：S₂=，綜上可知S₁：S₂的值為與a無(wú)關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是．
解答：解：（1）由y=2x²，得y′=4x．當(dāng)x=-1時(shí)，y'=-4．（2分）
∴l(xiāng)₁的方程為y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
（2）由，得：B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，2a²）．（4分）
由，得D點(diǎn)坐標(biāo)（a，-4a-2）．（5分）
∴點(diǎn)A到直線(xiàn)BD的距離為|a+1|．（6分）
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²
∴S₁=|a+1|³．（7分）
（3）當(dāng)a＞-1時(shí)，S₁=（a+1）³，（8分）
S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx
=
=．（9分）
∴S₁：S₂=．（11分）
當(dāng)a＜-1時(shí)，S₁=-（a+1）³
S₂=∫_a^-1[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_a^-1（2x²+4x+2）dx
=．（13分）
∴S₁：S₂=，綜上可知S₁：S₂的值為與a無(wú)關(guān)的常數(shù)，這常數(shù)是．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意雙曲線(xiàn)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、定積分的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．