Question

體積為288π的球內有一個內接正三棱錐P-ABC，球心恰好在底面正△ABC內，一個動點從P點出發沿球面運動，經過其余三點后返回，則經過的最短路程為

14π

．

Answer 1

分析：由題意，如圖，一個動點從P點出發沿球面運動，經過其余三點后返回，經過的最短路程是經過A，到B再到C，由C返回到P，故求出此四點間的球面距離的和即得所求答案，由圖及題意可知球心角∠AOP=∠POC=90°，∠AOB=∠BOC=120°，由球體積是288π計算出球的半徑，再由弧長公式求出四段弧長，即可求得答案

解答：解：由題意，可做出此球的內接正三棱錐，如圖O是球心OA=OB=OC=OP=r
由圖，動點P點出發沿球面運動，經過A，到B再到C，由C返回到P，故求出此四點間的球面距離的和即為所經過的最短路程
由題意，球心角∠AOP=∠POC=90°，∠AOB=∠BOC=120°
又球的體積是288π，即有

4πr3

3

=288π，解得r=6
經過的最短路程是（

π

2

+

π

2

+

2π

3

+

2π

3

）×6=14π
故答案為14π

點評：本題考查多面體與旋轉體表面上的最短距離，球的體積公式，弧長公式，解題的關鍵是理解此小球的運動過程，得出小球經過的最短距離是四段弧的長度和，本題考查了空間想像能力及由圖形進行計算的能力，考查了數形結合的思想