Question

等邊三角形ABC中，P在線段AB上，且

AP

=λ

AB

，若

CP

•

AB

=

PA

•

PB

，則實數λ的值是

2- 2

2

．

Answer 1

分析：將

CP

表示為

CA

+

AP

，利用向量數量積公式，將關系式化簡得出關于λ的方程并解出即可．注意0＜λ＜1．

解答：解：設等邊三角形ABC的邊長為1．則|

AP

|=λ|

AB|

=λ，

|PB

|=1-λ．（0＜λ＜1）

CP

•

AB

=(

CA

+

AP

)•

AB

=

CA

•

AB

+ 

AP

•

AB

=

PA

•

PB

，
所以
1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×（1-λ）cos180°．
化簡-

1

2

+λ=-λ（1-λ），整理λ²-2λ+

1

2

=0，解得λ=

2- 2

2

（λ=

2+ 2

2

＞1舍去）
故答案為：

2- 2

2

點評：本題考查向量數量積的運算，平面向量基本定理，關鍵是將

CP

表示為

CA

+

AP

，進行轉化，以便應用向量數量積公式計算化簡．