Question

如圖，直三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB． D、E分別為棱C₁C、B₁C₁的中點．

       （1）求與平面A₁C₁CA所成角的大小；

       （2）求二面角B—A₁D—A的大小；

       （3）點F是線段AC的中點，證明：EF⊥平面A₁BD．

Answer 1

解：（1）連接A₁C．∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱柱，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC．

       ∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA．  ………………1分

       ∴為與平面A₁C₁CA所成角，

．

∴與平面A₁C₁CA所成角為．                              ………3分

（2）分別延長AC，A₁D交于G． 過C作CM⊥A₁G 于M，連結BM，

       ∵BC⊥平面ACC­₁A₁，∴CM為BM在平面A₁C₁CA內的射影，

       ∴BM⊥A₁G，∴∠CMB為二面角B—A₁D—A的平面角，       ………………………5分

       平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點，

       ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，，．   ……7分

       即二面角B—A₁D—A的大小為．                    ……………………8分

（3）證明：∵A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，∴B₁C₁//BC，

∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，

∵EF在平面A₁C₁CA內的射影為C₁F，∵F為AC中點，

∴C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D．                                ……………………11分

同理可證EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD．                     ……………………12分

解法二：

（1）同解法一……………………3分

（2）∵A₁B₁C₁—ABC為直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，

AC⊥CB，D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點．

建立如圖所示的坐標系得：

C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），

C₁（0，0，2）， B₁（2，0，2）， A­₁（0，2，2），

D（0，0，1）， E（1，0，2）．                                ………………6分

，設平面A₁BD的法向量為，

  ．        …………6分

平面ACC₁A₁­的法向量為=（1，0，0），．     ………7分

即二面角B—A₁D—A的大小為．                   …………………8分

（3）證明：∵F為AC的中點，∴F（0，1，0），．      ……10分

由（Ⅱ）知平面A₁BD的一個法向量為，∴//n ．         ……11分

EF⊥平面A₁BD．                               ………………………………12分