Question

（2012•杭州二模）已知扇形的圓心角為2θ(0＜θ＜

π

4

)，半徑為r，分別按圖1，圖2作扇形的內接矩形，若按圖1作出的矩形面積的最大值為

1

2

r²tanθ，則按圖2作出的矩形面積的最大值 為

r²tan

θ

2

．

Answer 1

分析：將圖二可拆分成兩個圖一的形式，可以類比得到結論．圖一角是2α，圖二拆分后角是α，故矩形面積的最大值為

1

2

r²tan

θ

2

，由此可得結論．

解答：解：圖一，設∠MOQ=x，則MQ=rsinx
在△OMN中，

MN

sin(2α-x)

=

r

sin(180°-2α)

，∴MN=

rsin(2α-x)

sin2α

∴矩形面積S=

r2sin(2α-x) sinx

sin2α

=

r2

2sin2α

[cos(2x-2α)-cos2α]≤

r2

2sin2α

[1-cos2α]=

1

2

r²tanα
當且僅當x=α時，取得最大值，故圖一矩形面積的最大值為

1

2

r²tanθ，圖二可拆分成兩個，
圖一角是2α，圖二拆分后角是α，故根據圖1得出的結論，可得矩形面積的最大值為

1

2

r²tan

θ

2

，
而圖二時由兩個這樣的圖形組成，所以兩個則為r²tan

θ

2

．
故答案為：r²tan

θ

2

點評：本題考查扇形內接矩形面積問題，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是發現兩個圖之間的聯系，利用已有的結論進行解題．