Question

已知sinα，cosα是關于x的二次方程4x²+2mx+m=0的兩個根．
（1）求m的值；
（2）求

cos2α•sinα

(1+sin2α)(1-tanα)

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中sinθ、cosθ是關于x的方程4x²+2mx+m=0的兩個實根，我們根據方程存在實根的條件，我們可以求出滿足條件的m的值，然后根據韋達定理結合同角三角函數關系，我們易求出滿足條件的m的值；
（2）先由第一問求出的m確定出sinα+cosα及sinαcosα的值，然后把所求的式子分子利用二倍角的余弦函數公式化簡后，再利用平方差公式分解因式，分母利用同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式化簡，變形后與分子約分可得到關于sinα+cosα及sinαcosα的關系式，把sinα+cosα及sinαcosα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵sinα，cosα是關于x的二次方程4x²+2mx+m=0的兩個根，
∴當△=（2m）²-16m≥0，即m≤0，或m≥4時，
有sinα+cosα=-

2m

4

=-

m

2

，sinαcosα=

m

4

，
又sin²α+cos²α=1，即（sinα+cosα）²-2sinαcosα=

m2

4

-

m

2

=1，
化簡得：（m-1）²=5，
解得：m=1+

5

（舍去）或m=1-

5

，
則m=1-

5

；（4分）
（2）∵sinα+cosα=-

1- 5

2

，sinαcosα=

1- 5

4

，
∴

cos2α•sinα

(1+sin2α)(1-tanα)

=

sinα(cos2α-sin2α)

(sin2α+2sinαcosα+cos2α)(1- sinα cosα )

=

sinαcosα(cosα-sinα)(cosα+sinα)

(sinα+cosα)2(cosα-sinα)

=

sinα•cosα

sinα+cosα

=-

1

2

．（5分）

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，三角函數中的恒等變換應用，其中本題第一問易忽略方程存在實數根，而錯解為m=1±

5

，第二問利用三角函數的恒等變形把所求式子化為關于sinα+cosα及sinαcosα的形式是解題的關鍵，同時注意“1”的靈活運用．