Question

（本小題共16分）已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點  在直線上．

（1）求橢圓的標準方程

（2）求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；

（3）設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N．求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）又由點M在準線上，得

故，  ……………2分

  從而

所以橢圓方程為……………4分

（2）以OM為直徑的圓的方程為

即 

其圓心為,半徑 ……………6分

因為以OM為直徑的圓被直線截得的弦長為2

所以圓心到直線的距離 

所以，……………8分

解得

所求圓的方程為 ……………10分

（3）方法一：由平幾知：……………11分

直線OM：，直線FN： 

由得……………13分

……………15分

所以線段ON的長為定值．……………16分

方法二、設，則  ……………11分

   ……………13分 

又………15分

所以，為定值……………16分

【解析】略