Question

若對任意x∈A，y∈B，（A、B⊆R）有唯一確定的f（x，y）與之對應，稱f（x，y）為關于x、y的二元函數．現定義滿足下列性質的二元函數f（x，y）為關于實數x、y的廣義“距離”：
（1）非負性：f（x，y）≥0，當且僅當x=y=0時取等號；
（2）對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對任意的實數z均成立．
今給出四個二元函數：
①f（x，y）=x²+y²；②f（x，y）=（x-y）²③f(x，y)=

x-y

；④f（x，y）=sin（x-y）．
能夠成為關于的x、y的廣義“距離”的函數的所有序號是

①

．

Answer 1

分析：利用新定義的三個條件，若有一個不滿足，即不是“關于的x、y的廣義“距離”的函數”．

解答：解：①對于函數f（x，y）=x²+y²：滿足非負性：f（x，y）≥0，當且僅當x=y=0時取等號；滿足對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
∵f（x，z）+f（z，y）=x²+z²+z²+y²≥x²+y²=f（x，y）對任意的實數z均成立，因此滿足三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）．可知f（x，y）能夠成為關于的x、y的廣義“距離”的函數．
②f（x，y）=（x-y）²≥0，但是不僅x=y=0時取等號，x=y≠0也成立，因此不滿足新定義：關于的x、y的廣義“距離”的函數；
③f（x，y）=

x-y

，若f（x，y）=

x-y

成立，則f（y-x）=

y-x

不一定成立，即不滿足對稱性；
④同樣f（x，y）=sin（x-y）不滿足對稱性．
綜上可知：只有①滿足新定義，能夠成為關于的x、y的廣義“距離”的函數．
故答案為①．

點評：本題考查了新定義、函數的性質等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．